大多数人很少处理非理性的数量—这将是,不合理的,因为它们永远运行,并且准确地代表它们需要无限量的空间。但不合理的常数如 π  and √2—不能减少到简单分数的数字—经常在科学和工程中作业。自古希腊人以来,这些笨重的数字困扰了数学家;事实上,传说是海马的 淹死了 有关建议存在的非理性。但是,现在,关于它们可以近似的近80岁的宽度已经解决了。

许多人通过将它们舍入为分数或小数来概念化非理性:估计  π作为3.14,相当于157/50,在3月14日导致PI日庆祝。然而,不同的近似,22/7,更容易缠绕和更近 π。这会提示问题:这些近似是否会有多少简单和准确的限制?我们可以以我们想要的任何形式选择一小部分吗?

1941年,物理学家理查德达弗丁和Mathematician Albert Schaeffer提出了一个简单的规则来回答这些问题。考虑追求近似各种非理性数量。首先,决定近似的近似值如何用于特定分母的分数。 (记住,“numerator”指分数的顶部和“denominator”底端。在这里,所有分数都是完全简化的—因此,例如,2/4不计数为具有分母4,因为它简化为1/2。)您可能决定表单的简化分数 n/ 2可以近似任何不合理的数字,其真正值落在其中的1/10内—给出近似“error”1/10。看起来像的分数 n/ 10在数字线上比具有分母2的数字更靠近,因此您可能会将错误限制为仅1/100—这些分数可以近似于在它们的1/100内近似。

信用:阿曼达蒙塔ñez

通常,较大的分母与较小的误差相关。如果这是真的,并且有无数的分母可以用来用来近似到相应的错误内的数字,然后通过增加分母可以更好地使近似且更好地变得更好。达弗和舍菲尔’S规则措施可以根据错误的大小完成。

如果所选的错误足够小,则在骨料中足够小,则随机挑选的非理性数 x 将只有有限数量的良好近似:它可能落入与特定分母之间的近似之间的间隙。但如果错误足够大,则会有无限的多分子,产生良好的近似分数。在这种情况下,如果错误也会缩小,因为分母变得更大,那么您可以选择按照所需精确的近似值。

未经生产的

结果是您可以近似每个数字近似每个数字,或者几乎没有它们。“There’醒目的二分法,”蒙特利尔大学的数学家Dimitris koukoulo op说。此外,您可以选择错误,但是只要它们足够大,总数就足够了,可以无限地近似多种方式。这意味着,通过选择零的一些错误,您可以将近似值限制为特定类型的分数—例如,那些具有额定参数的人仅为10个。

虽然似乎符合小错误使得近似数量较难,但是达弗和施费者无法证明他们的猜想—也没有其他人。证据仍然存在“一个地标开放问题”在奥地利格拉茨理工大学的数学家Christoph Aistleitner表示,在奥地利研究了这个问题。那是,直到今年夏天,当koukoulopoulos和他的合作伙伴詹姆斯·梅纳德宣布他们的时候 解决方案 在发布到预印刷服务器Arxiv.org的文件中。

Duffin-Schaeffer猜想“在数学领域有这种神奇的简单’通常非常困难和复杂,”奥尔纳德说,牛津大学教授。他偶然地偶然发现了这个问题—他是一个数字主义者,但在与大多数Duffin-Schaeffer专家的同一地区不存在。 (他通常研究素数—那些被自己分开的人和1.)一位约克大学教授建议在他在那里谈话后解决了Duffin-Schaeffer猜想。“我认为他有一种直觉,让某人稍微在那个即时领域,”Maynard说。这种直觉原来是正确的,尽管它不会忍受水果几年。久后,迈尔纳德初步对话后,就会向寇科波洛斯讨论他的同事拥有相关专业知识的嫌疑义。

Maynard和Koukoulopoulos知道该领域以前的工作已经将问题减少了一个关于分母的主要因素的问题—当乘以聚合时,素数地位,产生分母. Maynard建议在数字中思考这个问题:“想象一下,在数字线上,在靠近具有分数100的馏分的所有数字中着色。” Duffin-Schaeffer猜想says if the errors are large enough and one does this for every possible denominator, almost every number will be colored in infinitely many times.

对于任何特定的分母,只有数量线的一部分将被着色。如果数学家可以表明每个分母,足够不同的区域都是着色的,他们将确保几乎每个数字都是有色的。如果他们也可以证明这些部分重叠,他们可以得出结论发生了很多次。捕获这种不同但重叠区域的这种想法的一种方法是证明所彩色的区域被不同的分母彼此无关—他们是独立的。

但这实际上并非如此,特别是如果两个分母共享许多主要因素。例如,可能的分母10和100共享因子2和5—和可以用表格的分数近似的数字 n/10 表现出令人沮丧的重叠,与分数近似的那些重叠 n/100.

绘制问题

Maynard和Koukoulopoulos通过在数学家呼叫图的网络方面恢复问题来解决这一难题—一堆点,有一些按线连接(称为边缘)。其图中的点表示可能的指教者,即研究人员想要用于近似分数,如果它们有许多共同的主要因素,则两个点通过边缘连接。在允许的分母具有不必要的依赖性的情况下,图表具有很多边缘。

使用图形允许两位数学家以一种新的方式可视化问题。“您需要的最大洞察之一是忘记问题的所有不重要的部分,并在一个或两个因素中留在一个或两个使[它]非常特别的因素中,”Maynard说。他说,使用图表,“不仅让您证明结果,而且’他真的告诉你一些关于什么的东西’在这个问题上进行了。”Maynard和Koukoulopoulos推断出许多边缘的图表与特定的高度结构化的数学局势相对应,它们可以分开分析。

二重奏’S解决方案令人惊讶于该领域的许多人。“一般的感觉是,这并不贴近解决,” says Aistleitner. “使用[图形]的技术是可能在未来将被视为重要[AS]—可能比—实际的duffin-schaeffer猜想,”德克萨斯大学奥斯汀的退休教授Jeffrey Vaaler表示,他于1978年证明了猜想的特殊情况。

它可能需要几个月的其他专家来了解完整的细节。“证据现在是一个漫长而复杂的证据,” says Aistleitner. “It’不仅仅是有一个醒目,辉煌的主意。有许多,必须控制许多零件。 ”在44页密集,技术数学,甚至领先的数学思想需要时间包裹着纸张。然而,社区似乎乐观。 Vaaler说:“It’漂亮的纸张。我认为它’s correct.”