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科学谈话
数学
Science Talk

数学可以平等乐趣

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Credit: Basic Books

Harvey Mudd College Math教授Arthur Benjamin谈到了他的新书 数学的魔力:解决 x and Figuring Out Why
 

史蒂夫米尔斯基: Welcome to 科学周报 科学谈话,于2015年11月15日托管。我是史蒂夫米尔斯基。在这一集:

亚瑟本杰明: 我认为已经在数学课程中取出了许多有趣的事情,并在这些日子上进行了测试问责制的所有重点。我希望人们不仅仅是学习数学。我希望人们喜欢数学。

那是亚瑟本杰明。他是加利福尼亚州克莱尔蒙特的Harvey Mudd College的Markwood家族教授。您可能会从他的三个TED谈判中了解他,这些谈判已被视为一千万次。他是编辑的 数学幽灵杂志 由美国数学协会出版,他是新书的作者, 数学的魔力–解决x并弄清楚为什么 来自基本书。最近在纽约市巡回巡回赛,我们谈到了 科学周报 offices.

米尔斯基: 你在书中谈谈–你有这个例子–本书中有许多迷人的例子,说明了你关于数学魔力的观点。我们应该说这是为了 科学周报 你的英雄是马丁加德纳。

本杰明: 绝对地。马丁加德纳是原来的“mathemagician”—和最好的。他有办法以清晰和乐趣的方式解释数学概念和科学概念,并且只是如此引人入胜,并通过他的写作和书籍启发了数千名年轻的数学家和萌芽科学家。

米尔斯基:               我们的所有东西都可以在我们的数字档案中提供。现在我已经让商业交易了…

本杰明:         也适合。绝对地。

米尔斯基:               因为你在书中谈论他。一个例子真的真的跳了出来。你谈论一个足球场。每个终点区的美式足球场为100码加10码。目标帖子位于终点区的末尾,所以如果你捆绑了一条线– a rope –从一个目标帖子到另一个目标帖子,它将是360英尺。

本杰明:         120码。 360英尺。

米尔斯基:               但是你谈谈–你在这里说明了一个点–如果你加入绳子的一英尺–

本杰明:         对,只是一点点松弛。

米尔斯基:               所以绳子现在长361英尺。当它是360时,你根本无法接受它。

本杰明:         蚂蚁无法在该绳子下面爬行。

米尔斯基:               所以现在这是这本书的361英尺…

本杰明:         你去了50码线,你可以尽可能地抬起绳索。绳索有多高?蚂蚁可以在它下面爬行吗?你能爬下来吗?卡车可以在它下面驱动吗?你在50码线上有多少房间?

米尔斯基:               在我们答案之前–如果您实际读取书籍或者您使用铅笔和纸张,则这些概念将更容易地可视化,或者您坐在那里,你只是潦草地爬行–只需绘制三角形。我们正在制作三角形。当你拉到它时,当你拉绳时,我们正在制作两个三角形。

本杰明:         这是正确的。如果你想到它,如果你直接拉,你有两个正确的三角形。只要专注于其中一个三角形,从50码线一直到一个目标岗位。它的基础仍然是180英尺,但现在斜边– the diagonal part –是,让我们看看。这将不是181,181但是180.5因为你有一个额外的脚,穿过整个足球场。所以你在对角线上有180.5个。–斜边。即使在这里,你也可能想,"这不可能很高,可以吗?"然而,毕达哥拉斯定理,数学中最重要的定理之一说,那个身高– let's call that H –必须满足H平方加上基地平方– 180 squared –必须平等为180.5平方。当你解决H时,你得到13英尺左右的东西。

米尔斯基:               它有点超过13英尺。当我读到这一点时,还有几件事上升了。一个是,这是不可能的。另一个是–这就是数学这么精彩。对我来说的另一件事是,这就是它的方式。你不能与它争论。这只是等式是无可救药的,它必须是真的。

本杰明:         这是数学的美丽。它很少有辩论。事情是真实的或者他们不是,你很少有数学事实是真实的意见的差异。

米尔斯基:               另一件事吓坏了我,然后我想到它的工作也不适用,而不是拉起它–而不是拉动阵容–你把它拉到了一个边线。你会得到完全相同的结果,但是拉绳的顶点与场的中间的差异现在也是13英尺,因为你可以做一个–

本杰明:         这是相同的三角形。这是正确的。

米尔斯基:               这意味着,让我们说有些人在终点区的尽头开球,而不是在场上跑步,拿一条绕场中心绕过13英尺的路径,然后回来让他绕过另一个球门柱。他只是在他的奔跑中添加了一个额外的脚,也是如此违反直觉。

本杰明:         这是对的,因为你看到他距离领域的中心13英尺,但他跑的总长度只有一英尺长。这不是令人惊讶吗?甚至听到那个,我认为感觉如此不行,但这是数学可以带来的美丽和幸福的一部分,发现似乎是错的事情。你可以理解为什么他们是对的,为什么它发生了。

米尔斯基:                And I guarantee –任何人都在那里那些不相信它,如果你跑了实验,就会说这里的教授是正确的。在后面的一章中,你有一个类似的例子,你有一根绳子在整个星球上–

本杰明:         正确的。说,围绕地球的赤道。

米尔斯基:               让我们离开它。我们会说它是25,000英里。我们假设一个完全球形的地球和平坦。没有山脉,水不会改变绳子。然后我们加入绳子10英尺。现在赤道上方有多高,全球一路,你能选择绳子吗?

本杰明:          So now you say, "我只是要把那根绳子抬起来。我打算把它们放在钉子上,以便它围绕赤道徘徊。"额外的十英尺的绳子有多高–丈。它是什么?十英尺超过两个pi,大约一个半英尺。你可以在那根绳子下爬行。事实证明是圆周的公式的基本后果,两个PI R.

米尔斯基:               只有那个,它是一个半英尺。真的并不重要,原始圆周是什么。

本杰明:         这是正确的。如果我们把绳子放在篮球或阳光下,你会得到相同的答案。 25,000人实际上并没有在答案中发挥作用。再次,它是矛盾的,但是真的。

米尔斯基:               当你实际进行计算时,25,000次出局。书中有很多有趣的东西。

本杰明:          Thank you.

米尔斯基:               你为什么写这本书?

本杰明:         我认为数学课程已经脱离了很多有趣的事情。随着这些日子的重点是测试和问责制,我们会强调我们的学生一个较小且较小的材料,这些材料被认为是重要的。这是问题的,那种材料已经取出了很多快乐。而一些只是介于我们所描述的那些材料,他们只是没有出现。他们必须被削减,以使学生掌握更好的身体材料,这是不幸的。

我希望人们不仅仅是学习数学。我希望人们喜欢数学。这就是马丁加德纳的写作为我做了什么。喜欢,"Wow, this is cool."人们没有成为科学家和数学家,因为他们真的擅长做数字或长分算法的乘法。这不会激发任何人。但要看到这些惊喜和这些东西,这就是大脑的东西,这就是让某人热衷的数学,科学和解决问题。

                          我的希望是,这将是一本人希望他们在学校里的书,要么是因为它清楚地解释了重要的东西,它表明他们只是乐趣,义卖的东西以神奇的方式–通过魔法,通过幽默,通过双关语,歌曲–

米尔斯基: Terrible puns.

本杰明:         谢谢你。只有双关语,我们说如果它是糟糕的,那就太好了。这才是重点。数学很有趣。这是一个严肃的主题,但它不必以致命的认真讲授。

米尔斯基:               在你谈论的书中,"如果我加3x到2x,我得到5倍。"

本杰明:         我父亲对我说–这是我的第一个代数课。他说,"好的,亚瑟。什么是5q加5q," and I said –

米尔斯基:                10q.

本杰明:          And he said, "You're welcome."

米尔斯基:               而且,我说,"我要喜欢这本书,"因为这很糟糕,这很棒。你的书的另一部分–我以前见过很多这些概念,显然是因为我去了高中。但是你谈论一些东西的方式让你以不同的方式考虑这些概念。然后有一些我从未见过的东西。例如,.99999… –我们都知道这意味着只有无限的九个–等于一个。我说,"不,它不等于一个。它几乎等于一个。"但是,在你证明的几个快速步骤中,没有,它确实等于一个。

本杰明: 我给你五种不同的方法证明这两个数字是相同的,数学家都有一个呼叫这些东西的重要原因。也许最简单的方法是如果你想到第三个,你是否同意第三个是.33333永远?现在乘以三个,你会得到三分之三,这是一个,但你也永远得到.9999。所以他们是数学上的。

米尔斯基:               这有点令人不安,但它也很有意思。

本杰明: 随时,无限进入等式–在这里,我们的无限形式是无限的多点,无限很多九–那是数学变得非常有趣,有时是矛盾的。在数学中,交流法说,A + B = B + A。您添加数字的顺序无关紧要。好吧,猜猜是什么?如果您添加了无限数量的数字,则可以在不同的顺序添加它们时获取其他总数。这只是义卖众,你添加数字的顺序可以对最终总数的差异有所不同。

米尔斯基:               对,这有点太复杂,可能是进入这里,但它在那里。

本杰明:         但它在那里。我希望这本书多次阅读。它是用几个不同的层面写的。如果在任何时候你被困,我说只是继续前进。我只是不希望你停下来。有趣的东西,最后一章是关于无限的。因为你不能过到无限,所以我不得不在那里停下来。那里有一些思想吹东西。它有时也利用了早期学到的东西。这有时可以成为返回的动力,并了解早期的东西。

米尔斯基:               我接受了你的建议。你说,"无论你做什么,都随意跳过,但请阅读最后一章。"

本杰明:         阅读最后一章。有很多东西在小灰色的盒子里。我说你应该第一次跳过那些,但也许你读过它的第二个或第三次–我希望你能重新阅读它,因为这是你的数学– then you'll say, "哦,我想我现在准备好了。也许现在这对我来说更有意义。"和先进的人,像许多人一样 科学周报 读者可能会发现灰色盒子是他们最喜欢的书的部分,他们现在已经准备好了。我真的瞄准了一个非常广泛的受众,从那些将高中级数学的人们迈向忘记了大多数高中级数学的人。

米尔斯基:               我40年前拿了我的SATS,所以如果我不得不再次看那些SAT问题,他们可能会非常具有挑战性。这里的东西带回了很多思考。我记得我真的很喜欢几何。这是欧几里德几何形状,普通的几何形状。你怎么会出错?你不能出错。有规则,所以你知道你是否绘制你知道的那些相交的线路,以确定相对侧面上的角度是否相等。它没有办法。

本杰明:         欧几里德知道千年前。它今天就像它一样真实。我一直认为成为不朽的最佳路径是发现一个新的数学定理,如果你可以,它会给你命名,然后你的名字将永远存在。

米尔斯基:               对,如毕达哥拉斯,呃…

本杰明:         和欧几里德,以及费姆和牛顿,以及阿基米德和高斯和高斯。

米尔斯基:               我总是去几千年,所以到目前为止两个人。

本杰明:         英雄在书中出现,但是…

米尔斯基:               我从未暴露过的另一个非常令人着迷的例子,那就是你玩的扑克牌。谈论概率,卡片真的很有趣。任何扮演任何扑克的人,你都知道节拍的标准顺序–高卡,一对,两对,三种,直,冲洗,全房。但是如果添加了jokers,则规则熄灭窗口。

本杰明:         手的原因是按顺序排列的是它们是根据更难处理的排名。它不太可能被处理四种,而不是一对,因此四种的四种价值超过一对。这比它直接互化更难处理,这就是为什么冲洗跳动直线。但现在,如果您将通配符介绍到图片中,现在您可能有选择,您是否使用该通配符–让我们说你可以选择你的手两对或三个,如果你有一个小丑,你可以。

假设你有一对和另外两张牌,现在笑话大头进来了。你用那个小丑吗匹配你的对,或者你用这个小丑来匹配其他卡吗?你会做一个更有价值的手。如果三种类型更有价值,那么您将使用它来匹配该对。但猜猜怎么了?通过这样做,现在三种类型的三种比两对变得更常见,因此它们应该比两对更有价值。但是,你可以以完全相同的方式使用这些笑话者,因此没有一致的排序方式。

米尔斯基: 对我来说真是太棒了。你开始了这本书–我相信很多人听–这个关于高斯的故事是数学史上最着名的故事之一。但任何不知道它应该听到的人,那么你为什么不告诉它?

本杰明:         好的。高斯,当他是一个年轻的男孩时,他的老师要求教室从1到100个增加到100,而老师可能会喝咖啡休息时间。高斯立即给出了答案并说,"It's 5,050,"除了他用德语说道。老师说,"恩,那就对了。你是怎么做到的?"

很可能是多么高斯。他说,"嗯,想象一下数字1到100.让我们说1到50从左到右写入一个大行,然后在它下面写入51到100,但从左边写下这些数字。"所以你有一个,下面你有100个。那些数字最多加101.接下来,你有2个,下面,99和这些数字最多加入101.然后3加98是101.把它全部拿走到达右侧的方式50加51.那是101.所以高斯可以看到这些数字折叠成50对的数字,每个数字都增加了101对。如果5次101是505,则为50倍,其中50倍。高斯的答案是。

Gauss可能很快就业,但他没有通过添加我们所愿意的数字来获得这个答案。什么高斯能够比历史上的任何数学家做得更好的事情是他在没有人见过的方式的方式制作数字舞蹈和看数字和几何形状的能力。他是一个真正的天才。

米尔斯基: 当他做了50 50个例子时,他多大了?

本杰明:          He was probably –我认为他大约十岁了。他引起了一些顾客的关注。他在一个贫穷的家庭中长大,这些顾客补贴了他的教育,以便他得到了他应得的数学训练。

米尔斯基:               真的,我认为,这本书的重要部分。这本书很多是有趣和有益的,但是这本书的重要组成部分在那里你谈论你如何只能用一些数据来了解更多或更少可能是一个答案。

本杰明:         哦是的。我花了一点时间谈论精神逼近。我们花了很多时间在学校教学学生如何获得确切的答案,但如果我问一个随机的学生甚至是一个随机的老师,"当您将四位数字乘以六位数字时,您会得到什么?答案中有多少位数? "人们不知道。如果你给他们数字,他们可以通过算法,但答案是什么?答案结果为十位数,或九位数加六位数是十位数。当您乘以数字时,您可以获得其数字的总和或更少。

划分怎么样?如果我采取六位数字除以四位数字,答案有多大?这是两位数或三位数。六个减号四是两个或一体。所以它是两位或三位数。这比了解答案的第一个数字是更重要的。更重要的是要知道,答案有多大?数百人是否在数千岁时?那里有一些非常简单的规则,因为我们在我们的学校里没有真正地强调了我们的孩子的精神数学。这是一个实际的结果。

米尔斯基: 正确的。如果您正在购物,那么这是一个要提出的东西,有些东西休息40%。你不必弄清楚新的价格是多少,但你应该能够普遍知道如果它开始了–而且我将在这里使用真正简单的数字。如果它始于100美元,而且它的折扣是40%,你将知道它不低于50美元。它仍超过50美元。

本杰明:         正确的。对应该是答案应该是什么,特别是当你看巨大的数字时,这是非常重要的。如果某些东西要花费成千千万美元,请说–

米尔斯基: An aircraft carrier.

本杰明: 你说,那是什么?那是11位数字。我们将在这个国家的3亿人民分开。好的,所以这是九个数字。然后告诉我们,每一个数字或三个数字都是成本核算。它每人的数十或数百美元。然后,您可以为此提供这一信息,但这是人们刚刚的东西–他们看到数字,他们倾向于关闭他们的思想。他们只是停止思考。或者,他们拔出计算器,如果计算器在那里,他们就不会想到它。我希望人们更多地使用他们的思想。

米尔斯基:               我想你在书中提到它,但你有一个喜欢的号码–只是一个四位数的整数。

本杰明:         是的。我最喜欢的四位数是2,520。

米尔斯基 :               Why is that again?

本杰明:         事实上,如果你看看书的索引,你看起来在我最喜欢的号码下,而不是一个页码,它说2,520。在下面它说明为什么,然后我给出页码,这将解释一下,但我会告诉你这里。作为一个孩子,事实上,这是我最喜欢的号码。原因是,它是最小的数字,这些数字是从一到十个的所有数字来源的。所以你看一个像60一样的数字。这是从一到十个的大多数数字来分开,但它不仅仅是七个人,比如说。所以2,520年是最小的数字。令人惊叹的巧合,我在1260年中长大的房子号码,这是一个数字的一​​半。除了八个之外,所有数字都可以通过一到十。

有喜欢的数字是可以的。人们有最喜欢的颜色和最喜欢的名人。为什么不喜欢的数字?

米尔斯基: 每个人都有这种感觉,因为当你到达里程碑数量时,每个人都喜欢观看车里程表。我认为,每个人都有这个奇怪的冲动与数字有联系。

本杰明:         绝对地。我的大女儿,她进入了回文数字。任何时候一个数字会出现,这是一个回文。例如,今年,在希伯来日历–我们刚刚从5775年开始,这是一个回文,到5776,这是一个完美的广场。哦,我知道。正确的?这是76个平方。 76次76是5776,得到这个。 5776在76中结束。因此,不仅是76次76,它就结束于76,这是具有该属性的唯一四位数字,即当您拍摄平方根时,您可以获得数字的最后两位数字。

米尔斯基:               哇。我相信那里有作用学家,谁想出了为什么这意味着重要的事情。

本杰明:         而且很少见。你不会再看到这一点。当它在77个平方时,您将不会看到希伯来日历中的完美一年,这是我们现在可以做的,这当然可以做,这是5,929。或者至少你可以在阅读这本书时做到这一点。

米尔斯基:               这是好东西。我记得多年前和时钟与母亲交谈–这是一个数字时钟–来了,这是12:34。她注意到它,她说,"12:34。这是我最喜欢的时钟号码。" I was like, "这是我最喜欢的号码。"我们在这个数字时钟编号的这种古怪的情感上结合了。

本杰明: 我打算告诉你一些我刚刚过两天学到的东西,我很认真。这不是在书中。但我希望它是。我把母亲的生日放在了书中。我教你如何在任何人的生日中创造一个魔法广场。我决定庆祝我母亲的生日。她出生于1936年。我母亲一直对第四次充满热情。事实上,她的电子邮件地址以44中结束,作为庆祝第四号的方式。事实证明,44个平方是1936年。她出生于我世纪唯一完美的一年,它恰好是44个平方,这一直是她最喜欢的两位数。我从来没有做过那个联系。她最近刚刚制作了这一联系,并说,"你为什么不告诉我这个?" I said, "直到现在,我不知道。这很棒。"

顺便说一下,我不是数字学家。我以同样的方式拿走这些东西,即人们会玩PI的数字和这样的数字。这样做很有趣。我们将在3月14日庆祝Pi日,这很棒。我确实担心,有时人们会以他们不设计的方式使用数字–对于占星读物,以及挑选彩票数字,以及这样的东西。然后我觉得你实际上伤害了数学一点点。这不是数字的意思。

米尔斯基: 在伍迪艾伦短篇小说中有一个美妙的结局,他谈到了一些数字,人们试图通过从圣经中的字母数和某些词中拉出数字来破译现实的性质。他说这是这样的逻辑–这是一个释义,不幸的是。我没有致力于记忆。"它是这样的逻辑,导致拉比在渡槽处连续赢得每日两天22天,仍然赔钱。"我们可以采取重要性实际上是值得的,但我们正在谈论本书中的真实数学。这真的很有趣,而5q加5q。

本杰明:         好吧,欢迎你。

米尔斯基:               确切的木质艾伦线是,"这是推理的,这就是如此,LED Rabbi Yitzhak Ben Levy,伟大的犹太神秘主义者,在渡槽处奔跑52天跑步,仍然释放。"那是从他的短篇小说中,"哈西奇的故事与指导指导由指出的学者解释"最初发表在 纽约人 在1970年6月20日,在一个叫做的集合中发出和转载 获得偶数.

这是这一集。在我们的网站上获取您的科学新闻,www.scientificamerican.com,您可以在那里查看新出版的12月份杂志。封面故事是世界不断变化的想法。好的,也是好的。不是那些糟糕的。在Twitter上关注我们,在新项目击中网站时,您将获得推文。我们的Twitter名称是@Sciam。为了 科学周报 科学谈话,我是史蒂夫米尔斯基。感谢您点击我们。

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史蒂夫米尔斯基是1962年的扭曲比赛的赢家,他收到了三个蜡笔和三件建筑纸。它仍然是他最负盛名的奖项。


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信用:尼克希金斯

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